Método de resolución gráfica

El método de resolución gráfica es una herramienta poderosa para resolver problemas de programación lineal. Se utiliza para encontrar la solución óptima (máxima o mínima) de una función objetivo, sujeta a ciertas restricciones. A diferencia de métodos algebraicos, el método gráfico permite una visualización intuitiva del problema y su solución, lo que facilita la comprensión del proceso.

Pasos para Resolver un Problema con el Método Gráfico

El método gráfico se basa en una serie de pasos secuenciales que, una vez completados, proporcionan la solución óptima al problema planteado. Estos pasos son:

Plantear el Problema Matemáticamente

Este es el paso fundamental. Consiste en definir:

• Variables de decisión: Identificar las variables desconocidas que se buscan optimizar. Por ejemplo, en un problema de producción, las variables podrían ser la cantidad de unidades producidas de cada producto.
• Función objetivo: Expresar matemáticamente la cantidad que se desea maximizar o minimizar. Esta función depende de las variables de decisión. Suele representarse como Z = f(x, y), donde Z es el valor de la función objetivo, y x e y son las variables de decisión.
• Restricciones: Definir las limitaciones o restricciones que afectan a las variables de decisión. Estas restricciones suelen estar expresadas como desigualdades lineales, reflejando la escasez de recursos, capacidad de producción, etc.

Graficar las Restricciones

Cada restricción se representa gráficamente como una recta en el plano cartesiano. Para ello, se transforma la desigualdad en una igualdad (por ejemplo, x + 2y ≤ 8 se transforma en x + 2y = 8), y luego se grafica la recta. El área que representa la solución factible se determina sombreando la región que cumple con todas las restricciones. Tener en cuenta que:

• Para desigualdades del tipo ≤, la región factible se encuentra por debajo o izquierda de la recta.
• Para desigualdades del tipo ≥, la región factible se encuentra por encima o derecha de la recta.

Identificar la Región Factible

La región factible es el área del gráfico donde se cumplen todas las restricciones simultáneamente. Es la intersección de todas las regiones determinadas por cada restricción. Esta región representa todas las combinaciones posibles de valores de las variables de decisión que satisfacen las restricciones del problema.

Graficar la Función Objetivo

La función objetivo se representa como una línea. Para una mejor visualización, se suele evaluar la función objetivo en dos puntos de la región factible. Al unir estos puntos se obtiene la línea de la función objetivo. Al desplazar esta línea paralelamente, se busca el punto óptimo.

Determinar la Solución Óptima

El punto que representa la solución óptima (máximo o mínimo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible (Teorema fundamental de la programación lineal). Al evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, se determina cuál proporciona el valor máximo (en caso de maximización) o mínimo (en caso de minimización).

Ejemplos de Aplicación

Ejemplo de Maximización

Consideremos una empresa que fabrica sillas (x) y bancos (y). El beneficio por silla es de $2000 y por banco $3000. La función objetivo es maximizar el beneficio total (Z = 2000x + 3000y). Las restricciones son:

• x + 2y ≤ 8 (restricción de la máquina cortadora)
• 3x + y ≤ 9 (restricción de materia prima)
• x ≥ 0, y ≥ 0 (restricciones de no negatividad)

Aplicando el método gráfico, se encuentra la región factible y se determina que el punto que maximiza el beneficio es (2,3), es decir, producir 2 sillas y 3 bancos, con un beneficio de $13000.

Ejemplo de Minimización

Una empresa produce dos tipos de jugo: de naranja (x1) y de manzana (x2). El costo de producción por litro de jugo de naranja es de $3 y de manzana $La función objetivo es minimizar el costo total (Z = 3x1 + 2x2). Las restricciones son:

• x1 + x2 ≥ 7700 (demanda mínima)
• x1 ≥ 2750 (producción mínima de naranja)
• x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (restricciones de no negatividad)

Al aplicar el método gráfico, se identifica la región factible y se determina el punto que minimiza el costo total.

Ventajas y Desventajas del Método Gráfico

Ventajas

• Visualización: Permite una visualización clara del problema y su solución.
• Intuitivo: Fácil de comprender y aplicar, especialmente para problemas con dos variables.
• Simple: No requiere cálculos complejos.

Desventajas

• Limitado a dos variables: Solo es aplicable a problemas con dos variables de decisión.
• Precisión: La precisión de la solución depende de la escala del gráfico.
• Inconveniente para problemas complejos: Para problemas con muchas restricciones o variables, el método se vuelve complejo e inmanejable.

Consultas Habituales

¿Cuándo se utiliza el método gráfico? Se utiliza para resolver problemas de programación lineal con dos variables de decisión.

¿Cuáles son las limitaciones del método gráfico? Su principal limitación es que solo se puede aplicar a problemas con dos variables.

¿Qué es la región factible? Es la región del plano cartesiano que satisface todas las restricciones del problema.

Tabla Comparativa con Otros Métodos

El método de resolución gráfica, a pesar de sus limitaciones, es una herramienta valiosa para entender los conceptos fundamentales de la programación lineal y para resolver problemas sencillos. Para problemas más complejos, se requieren métodos más sofisticados, como el método simplex o métodos de punto interior.