06/06/2015
La distribución de Poisson es una de las distribuciones de probabilidad más importantes para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio determinado. Su aplicación se extiende a diversos campos, desde la predicción de la demanda de un producto hasta el análisis de la ocurrencia de eventos raros.
- Qué dice la ley de Poisson
- Aplicaciones de la Distribución de Poisson
- Tabla de Poisson
- Comparativa con otras distribuciones
- Estimación del parámetro λ
- Teorema de Adición para la Distribución de Poisson
- Convergencia a la Distribución Normal
- Estimación Bayesiana
- Consultas habituales sobre la Distribución de Poisson
Qué dice la ley de Poisson
La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurra un número específico de eventos en un intervalo dado, asumiendo que:
- Los eventos son independientes entre sí.
- La probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo pequeño es proporcional a la longitud del intervalo.
- La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es despreciable.
El parámetro clave de la distribución de Poisson es λ (lambda), que representa la tasa media de ocurrencia de eventos en el intervalo. λ también es igual a la media y la varianza de la distribución. Es decir, E(X) = V(X) = λ.
Función de cuantía de la distribución de Poisson
La probabilidad de que ocurran exactamente 'x' eventos en un intervalo dado se calcula mediante la siguiente fórmula:
P(X = x) = (e -λ λ x) / x!
Donde:
- e es la constante de Euler (aproximadamente 71828).
- x es el número de eventos.
- λ es la tasa media de eventos.
- x! es el factorial de x.
Representación gráfica de la distribución de Poisson
La gráfica de la distribución de Poisson muestra la probabilidad de cada valor posible de 'x'. La forma de la gráfica depende del valor de λ. Para valores pequeños de λ, la gráfica es asimétrica a la derecha (sesgada positivamente). A medida que λ aumenta, la gráfica se aproxima a una distribución normal.
Aplicaciones de la Distribución de Poisson
La versatilidad de la distribución de Poisson la hace aplicable en una amplia gama de situaciones:
- Control de calidad: Modelar el número de defectos en una línea de producción.
- Telecomunicaciones: Predecir el número de llamadas en un centro de atención telefónica.
- Finanzas: Analizar la frecuencia de transacciones financieras.
- Salud pública: Modelar la ocurrencia de enfermedades raras.
- Tráfico: Predecir el número de vehículos que pasan por un punto determinado en un periodo de tiempo.
- Biología: Modelar el número de mutaciones en una secuencia de ADN.
- Marketing: Predecir el número de clics en un anuncio online.
Tabla de Poisson
Una tabla de Poisson proporciona las probabilidades para diferentes valores de x y λ, facilitando los cálculos. Sin embargo, con el software estadístico actual, es posible calcular estas probabilidades directamente usando la fórmula.
Comparativa con otras distribuciones
| Característica | Distribución de Poisson | Distribución Binomial | Distribución Normal |
|---|---|---|---|
| Tipo de variable | Discreta | Discreta | Continua |
| Parámetros | λ (tasa media) | n (número de ensayos), p (probabilidad de éxito) | μ (media), σ (desviación estándar) |
| Aplicaciones | Eventos raros en un intervalo | Eventos en un número fijo de ensayos | Aproximación para distribuciones con λ grande |
Estimación del parámetro λ
En la práctica, el parámetro λ suele ser desconocido y debe estimarse a partir de los datos. La mejor estimación de λ es la media muestral.
Teorema de Adición para la Distribución de Poisson
Si X 1y X 2son dos variables aleatorias independientes con distribuciones de Poisson con parámetros λ 1y λ 2respectivamente, entonces su suma (X 1+ X 2) también sigue una distribución de Poisson con parámetro (λ 1+ λ 2).
Convergencia a la Distribución Normal
Cuando el parámetro λ es grande (generalmente se considera λ > 10), la distribución de Poisson puede aproximarse mediante una distribución normal con media μ = λ y desviación estándar σ = √λ. Esta aproximación facilita el cálculo de probabilidades en algunos casos.
Estimación Bayesiana
La estimación bayesiana permite combinar la información a priori sobre el parámetro λ con la información obtenida de los datos muestrales para obtener una estimación más precisa.
Consultas habituales sobre la Distribución de Poisson
¿Cuándo se utiliza la distribución de Poisson? Se utiliza para modelar el número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio cuando los eventos son independientes y la tasa media de ocurrencia es constante.
¿Cuál es la diferencia entre la distribución de Poisson y la distribución binomial? La binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos, mientras que la Poisson modela el número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio.
¿Qué representa λ en la distribución de Poisson? Representa la tasa media de ocurrencia de eventos en el intervalo considerado, y coincide con la media y la varianza de la distribución.
La distribución de Poisson es una herramienta fundamental en estadística, aplicable en una gran variedad de problemas de conteo donde la aleatoriedad juega un papel importante. Su comprensión y correcta aplicación permite realizar análisis predictivos y tomar decisiones más informadas.