01/02/2015
Los números complejos, una extensión del sistema de números reales, incorporan la unidad imaginaria 'i', donde i² = -Su representación gráfica se realiza en el plano complejo (o plano de Argand), un sistema de coordenadas bidimensional donde el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.
Forma rectangular y polar
Un número complejo 'z' se puede expresar en forma rectangular como z = a + bi, donde 'a' es la parte real y 'b' la parte imaginaria. También se puede representar en forma polar como z = r(cos θ + i sen θ), o de forma más compacta como z = r cis θ, donde 'r' es el módulo (distancia desde el origen) y 'θ' es el argumento (ángulo con respecto al eje real positivo).
Cálculo del módulo y argumento
El módulo 'r' se calcula utilizando el teorema de Pitágoras: r = √(a² + b²). El argumento 'θ' se obtiene utilizando funciones trigonométricas: tan θ = b/a. Es importante considerar el cuadrante en el que se encuentra el punto para determinar el valor correcto de 'θ'.
| Forma Rectangular | Forma Polar |
|---|---|
| z = a + bi | z = r(cos θ + i sen θ) = r cis θ |
| a = r cos θ | r = √(a² + b²) |
| b = r sen θ | θ = arctan(b/a) |
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Representación gráfica
Representar gráficamente el número complejo z = 3 + 4i.
Solución: En el plano complejo, se ubica el punto (3, 4). La distancia desde el origen es el módulo: r = √(3² + 4²) = El argumento se calcula como: θ = arctan(4/3) ≈ 513°.
Ejercicio 2: Conversión rectangular a polar
Convertir el número complejo z = -2 - 2i a forma polar.
Solución: El módulo es r = √((-2)² + (-2)²) = √8 = 2√El argumento, teniendo en cuenta que el punto está en el tercer cuadrante, es θ = arctan((-2)/(-2)) + 180° = 225° o (5π/4) radianes. Por lo tanto, la forma polar es z = 2√2 cis 225°.
Ejercicio 3: Conversión polar a rectangular
Convertir el número complejo z = 5 cis 60° a forma rectangular.
Solución: z = 5(cos 60° + i sen 60°) = 5(1/2 + i √3/2) = 5/2 + (5√3/2)i.
Ejercicio 4: Operaciones con números complejos en forma polar
Dados z₁ = 2 cis 30° y z₂ = 3 cis 45°, calcular z₁ z₂ y z₁ / z₂.
Solución:
- Producto: z₁ z₂ = (2 3) cis (30° + 45°) = 6 cis 75°
- Cociente: z₁ / z₂ = (2 / 3) cis (30° - 45°) = (2/3) cis (-15°)
Ejercicio 5: Teorema de Moivre
Calcular (1 + i)⁵ utilizando el teorema de Moivre.
Solución: Primero, se convierte 1 + i a forma polar. El módulo es r = √2, y el argumento es θ = 45°. Aplicando el teorema de Moivre: (1 + i)⁵ = (√2)⁵ cis (5 45°) = 4√2 cis 225° = -4 - 4i.
Ejercicio 6: Raíces de un número complejo
Hallar las raíces cúbicas de z = 8 cis 120°.
Solución: Las raíces cúbicas se obtienen utilizando la fórmula: z k= 3√8 cis ((120° + 360°k)/3), donde k = 0, 1,
- k = 0: z₀ = 2 cis 40°
- k = 1: z₁ = 2 cis 160°
- k = 2: z₂ = 2 cis 280°
Consultas habituales
Las consultas habituales relacionadas con la representación gráfica de números complejos incluyen: cómo graficar números complejos, conversión de coordenadas rectangulares a polares, conversión de coordenadas polares a rectangulares, aplicación del teorema de Moivre, cálculo de raíces de números complejos, y operaciones con números complejos en forma polar.
Dominar la representación gráfica y las operaciones con números complejos es fundamental para avanzar en áreas como el álgebra, el cálculo y la ingeniería.