Vectores coplanares: representación gráfica y propiedades

Vectores coplanares son aquellos que se encuentran en el mismo plano tridimensional. Es decir, son paralelos a un mismo plano. Encontrar dos vectores coplanares en un plano es trivial. La coplanaridad de dos líneas en un espacio tridimensional se representa en forma vectorial, mientras que la de tres vectores se define cuando su producto escalar mixto es cero.

Conceptos Fundamentales

Antes de profundizar en la representación gráfica de vectores coplanares, revisemos algunos conceptos esenciales:

• Magnitud de un vector: Representada por |a| o a, es un escalar no negativo.
• Igualdad de vectores: Dos vectores, a y b, son iguales (a = b) si tienen la misma longitud, el mismo soporte (o soportes paralelos) y el mismo sentido.
• Tipos de vectores:
• Vector nulo: Su punto inicial y terminal coinciden.
• Vector unitario: Su magnitud es 1 (nˆ).
• Vector libre: Su punto inicial no está especificado.
• Vector opuesto: Misma magnitud que ‘a’, pero dirección opuesta (-a).
• Vectores colineales o paralelos: Mismos o paralelos soportes.
• Vectores coiniciales: Mismo punto inicial.
• Vectores coterminales: Mismo punto terminal.
• Vector localizado: Paralelo a un vector dado, pasando por un punto específico.
• Vector recíproco: Misma dirección que ‘a’, pero magnitud 1/|a|.
• Vectores coplanares: Sus soportes son paralelos al mismo plano. De lo contrario, son no coplanares.

Coplanaridad en la Teoría

Las líneas coplanares son un tema común en geometría tridimensional. En teoría matemática, la coplanaridad de tres vectores se da cuando se encuentran en el mismo plano.

Un plano es una figura bidimensional que se extiende infinitamente en el espacio tridimensional. Las rectas se representan mediante ecuaciones vectoriales.

Condiciones para Vectores Coplanares

Existen varias maneras de determinar si un conjunto de vectores es coplanar:

• Producto escalar mixto: Si el producto escalar mixto (o triple producto escalar) de tres vectores es cero, entonces son coplanares. Este producto se calcula como el determinante de la matriz formada por los vectores.
• Dependencia lineal: Si tres vectores son linealmente dependientes, son coplanares. Esto significa que uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros dos.
• Independencia lineal: Si más de dos vectores son linealmente independientes, no son coplanares.

En resumen: Para que los vectores sean coplanares, su producto escalar mixto debe ser cero, y deben existir en un espacio tridimensional. Un sistema de ecuaciones con el determinante de la matriz de coeficientes igual a cero tiene una solución no trivial. Si el determinante es distinto de cero, pero las soluciones son x=y=z=0, se trata de una solución trivial.

Vectores Linealmente Independientes y Dependientes

Para comprender la coplanaridad, es crucial entender la dependencia e independencia lineal:

• Vectores linealmente independientes: v1, …, vn son linealmente independientes si la única combinación lineal que resulta en el vector cero es la trivial (a1v1 + … + an vn = 0, donde a1 = 0, …, an = 0).
• Vectores linealmente dependientes: v1, …, vn son linealmente dependientes si existe al menos una combinación lineal no trivial que resulte en el vector cero.

¿Cómo saber si dos vectores son coplanares?

Dos vectores cualesquiera siempre son coplanares, ya que siempre se puede definir un plano que los contiene. La coplanaridad se vuelve relevante cuando se consideran tres o más vectores.

Representación Gráfica

La representación gráfica de vectores coplanares implica visualizarlos en un mismo plano. Si se tienen tres vectores coplanares, se pueden representar como flechas que se encuentran en una superficie plana. Si los vectores son linealmente dependientes, una de las flechas podría ser expresada como una combinación lineal de las otras dos, visualmente se podría observar que una de las flechas se encuentra sobre la linea formada por las otras dos.

Ejemplos y Casos Prácticos

Consideremos tres vectores en R³: a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), y c = (7, 8, 9). Para determinar si son coplanares, calculamos su producto escalar mixto. Si el resultado es cero, los vectores son coplanares. Si el resultado es diferente de cero, los vectores no son coplanares. Se puede realizar una representación gráfica en un sistema de coordenadas tridimensionales para visualizar la situación.

Tabla Comparativa

Consultas Habituales

• ¿Cómo determinar si tres vectores son coplanares? Calculando su producto escalar mixto. Si es cero, son coplanares.
• ¿Qué significa que tres vectores sean linealmente dependientes? Significa que uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los otros dos, y por lo tanto, son coplanares.
• ¿Cómo se representa gráficamente la coplanaridad? Visualizando los vectores como flechas en un mismo plano.